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Historia de la geometría


 HISTORIA DE LA GEOMETRÍA.

introducciÓn. La concepciÓn del espacio.


En todas las fases de su historia, el arte ha estado acompañado por una concepción del espacio. La prehistoria es, en cierto sentido, "el estadio prearquitectónico de la evolución humana". La concepción espacial vigente a lo largo de los incontables siglos del arte primitivo cambió con las primeras altas civilizaciones, con la aparición de la arquitectura y su conquista gradual de la primacía sobre la pintura y la escultura.

A la consideración indiferente del hombre paleolítico de un numero ilimitado de direcciones vino a suceder una relación dominante con la vertical. Por el momento bastará decir que el sistema de representación egipcio se basa en un sentido del orden que ha estado fuertemente arraigado en la naturaleza humana durante más de cinco mil años, y en virtud del cual se relaciona todo lo que se ve con la horizontal o con la vertical. Cada uno de nosotros es portador de una especie de secreto equilibrio cerebral que inconscientemente nos impele a medir todo lo que vemos respecto a la horizontal o a la vertical, es decir, respecto a lo ortogonal. Pero esta concepción del orden no es la única posible: en el arte primitivo rige otra, que no depende de la vertical.

La concepción espacial de los egipcios condujo a otro sistema de representación, en el cual lo que quedaba plasmado sobre un plano vertical eran varios aspectos del mismo objeto, sin distorsión y a su tamaño real.

En su origen el concepto perspectiva estuvo ligado más a la Optica (óptica, del verbo griego optiké; ciencia de la visión) y a la representación artística, pero en nuestros días es un instrumento muy útil y que ha posibilitado el desarrollo de la técnica y la ingeniería. El estructurador de lo que hoy se conoce como Geometría Descriptiva (parte de la Geometría que se ocupa de la Perspectiva) fue un francés, Gaspar Monge, que fue profesor de la Escuela Politécnica de París.

A pesar de su origen griego como concepto, el origen etimológico de la palabra perspectiva es latino y significa “ver claramente”, corresponde al griego Skele (ciencia de la visión). Si analizamos el concepto en cualquier libro de técnicas de representación en la actualidad podríamos establecer como válida la siguiente definición:

"La Perspectiva es la ciencia o el conjunto de métodos que tienencomo objetivo representar en un plano o superficie que tiene dos dimensiones losobjetos y el espacio que los rodea (que tienen tres dimensiones) en la forma ydisposición con la que aparecen a la vista".

Lo que hoy en día entendemos como Perspectiva los griegos lo dividían en dos conceptos: Eskenografia (perspectiva lineal) y Eskiagrafia (técnica del sombreado o del claroscuro).
Vitrubio adapta el concepto de escenografía en un sentido estricto, como el método de representación perspectiva de los edificios, distinguiéndolos de los de ichonografía (representación de la planta del edificio) y orthografia (alzado del edificio). Pero Vitrubio asigna un sentido más general a la Perspectiva y la considera la aplicación de las leyes de la Óptica no sólo a las reglas de la representación plana sino a las de la configuración arquitectónica y escultórica tendentes a neutralizar las deformaciones que produce la visión.

La geometría se ha considerado siempre como una de las siete artes liberales que son la combinación del trivium (gramática, retórica y dialéctica) y al cuadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música). Con el tiempo la aritmética, la geometría y, posteriormente, el álgebra formaron lo que conocemos como matemáticas. Pero  hasta hace muy poco no se ha considerado a la geometría como integrante esencial de toda educación liberal, es decir, de toda educación que no fuera orientada a una determinada profesión.

Podría afirmarse que la geometría  se menciona por primera vez en los diez libros de Vitrubio, que trata sobre un estudio de los vientos, preocupado por las cuestiones de salud y comodidad realiza un estudio de cómo las calles deben disponerse en la ciudad para que los vientos no soplen fuertemente a lo largo de ellas. Identifica ocho vientos mayores y seis menores, cada uno con distintas características y que soplan a distintas horas

Ilustración Los diez libros de Vitrubio.
Tratado de los vientos para estructura arquitectonica de la ciudad.


"La concepción espacial de una época es la proyección gráfica de su actitud frente al mundo". La óptica clásica  estudia el espacio e intenta medirlo de una forma natural; propone un patronaje humanístico en el que la medida del hombre se toma como “escalímetro”  universal. Se afirma la teoría de una superficie esférica como “plano curviforme” de proyección  en la que se representaría la realidad. Esta perspectiva natural llevaba consigo el problema de las distancias en el espacio visual; dependiendo del ángulo de visión entre espectador y del objeto, las medidas de esos ángulos determinan el alejamiento de la “curva de proyección”. Tomaban un eje horizontal al que fugaban las proyecciones de profundidad de los objetos (en lugar de nuestro punto de fuga actual), Solo así, decían, puede corregirse la deformación curva que produce nuestra imagen retínica al interpretar la realidad que se observa. Denominaban con frecuencia a la perspectiva artificialis como un tipo de representación de la realidad para tuertos,  debido a su proyección plana en el cuadro de visión o de espina de pez (denominado asi a causa del eje horizontal de fuga).

De forma distinta pensaban en el Renacimiento, en el que todo estaba dominado por el ojo del contemplador, y se representaba gráficamente mediante la proyección perspectiva. Con esa técnica la imagen retiniana momentánea se fijaba sobre una superficie plana, base de la pirámide visual cuyo vértice superior se propone como punto de vista único y estático: no se mostraban las cosas como son, sino como aparecen en un instante. La realidad Renacentista es más racional y abstracta que la óptica griega, pues la superficie retiníaca no es plana sino curva y como consecuencia se presta a deformaciones caprichosas y difíciles de medir.

Con el Renacimiento aparece el concepto moderno que hoy tenemos de la Perspectiva. Se estableció la diferencia entre la Perspectiva Artificialis(adaptada sólo a la representación) y Perspectiva Naturalis o Communis (que es más óptica que Perspectiva y que fue desarrollada en la Antigüedad).

Artistas como Leonardo distinguen además tres tipos de perspectivas emulando a los antiguos:


“ ...una estudia las razones de la disminución; otra el alejamiento de los colores; la otra, el grado de lo finito, según el alejamiento”.En estas palabras se ve la distinción que aprecia entre perspectiva lineal y perspectiva aérea (más relacionada con la skiagrafía de los griegos) y que tan bien supo aplicar en su técnica pictórica. Lo que realmente hicieron los artistas del Renacimiento fue elevar a la categoría de ciencia una práctica artesanal: la pintura.

Las etapas arcaizantes (Próximo Oriente, Edad Media) han refutado la perspectiva porque introduce un elemento individual y contingente. El expresionismo la evita por confirmar la objetividad.
La concepción perspectiva se funda en la voluntad de crear el espacio figurativo a partir de los elementos del espacio visual empírico: la perspectiva matematiza este espacio visual: es un orden visual pero un orden de apariencias visuales.

El descubrimiento del punto de fuga, como imagen del punto infinitamente lejano de todas las líneas de profundidad, es al mismo tiempo el símbolo concreto del descubrimiento del infinito mismo. Así como la aportación de René Descartes de los puntos de coordenadas, es decir, la posición de los elementos a representar en la escena con respecto a un sistema de coordenadas x y z relativo.
Los países del Norte y del Sur han llegado al espacio perspectivo por caminos distintos. Con la perspectiva se había logrado la transición de un espacio psicofisiológico a otro matemático, en otras palabras: la objetivación del subjetivismo.
Tuvo lugar también el descubrimiento de la “perspectiva aérea”, que tiene en cuenta además la luminosidad y la atmósfera que rodea objetos y figuras y, por tanto, reproduce mejor la realidad, puesto que efectivamente los colores pierden intensidad y los contornos se desdibujan en la distancia. Esta perspectiva fue utilizada de manera extraordinaria por la escuela veneciana y alcanzó sus máximos logros con los pintores barrocos, como Vermeer, Rembrandt y Velázquez.

La perspectiva es un arma de dos filos: ofrece por una parte a los cuerpos el lugar para desplegarse plásticamente y moverse, pero por otra ofrece a la luz la posibilidad de extenderse en el espacio y diluir los cuerpos pictóricamente.

La perspectiva, por un lado, reduce los fenómenos artísticos a reglas matemáticas pero por otro los hace dependientes del hombre, en la medida en que las reglas se fundamentan en las condiciones psicofisiológicas de la impresión visual; su modo de actuar está determinado por la posición de un punto de vista subjetivo, elegido a voluntad.

Hubert Damisch compara el origen de la Perspectiva (el experimento de Brunelleschi) con el de la Geometría (atribuido a Thales). Pero hay algunos que no aceptan esta inclusión tan radical de la Perspectiva en el campo exclusivo de las matemáticas. Ven en ella una limitación a la libertad de creación del autor que se encuentra metido en una estructura puramente lógica y de leyes prefijadas. En este sentido el profesor y pintor francés Valenciannes decía: “ Casi todos los geómetras que nunca han estudiado la pintura, y en consecuencia jamás han puesto de acuerdo su teoría con la práctica necesaria para copiar la naturaleza, no podrán hacerse comprender por los artistas”.
El problema está en tratar la Perspectiva como algo puramente matemático o como un método que no admite soluciones exactas, como algo puramente intuitivo y cuya teoría emana de la práctica. Los artistas del Renacimiento en su afán de introducirse en el grupo de intelectuales y científicos quisieron dar un carácter científico a su actividad y encontraron en la Perspectiva el instrumento más válido que apoyaba sus tesis. Pero las encorsetadas leyes en las que cayó su uso en la práctica de la Academia llevaron a plantear la Perspectiva no como un medio al servicio de la creación sino como un obstáculo para la libertad del artista. Estas ideas aparecen en la Pintura del siglo XIX y acabaran manifestándose en continuos ataques y abandonos del método en las vanguardias.

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. Las geometrías no euclídeas son concepciones de la geometría que, como su nombre indica, no cumplen los postulados formulados por Euclídes, vigentes e indiscutidos durante siglos. En particular, las geometrías no euclídeas entran en contradicción con el quinto postulado de Euclídes, que afirma que “por un punto exterior a una recta se puede trazar una sola paralela a ésta”.

Saccheri (1667-1733) y Lambert (1728-1777) ya iniciaron los primeros pasos en la demostración de la existencia de una geometría que no cumplía el postulado de Euclides antes citado. A pesar de sus planteamientos correctos, en su época aún no se aceptó esta posibilidad. Fueron los matemáticos Bolyai (1802-1860) y Lobachevsky (1793-1856) quienes elaboraron de forma rigurosa una geometría en la que no se verificaba el postulado de Euclides.
A partir de entonces proliferaron los sistemas en los que se establecían nuevos modelos geométricos que incumplían el quinto postulado de Euclides, como la geometría hiperbólica de Lobachevski, que postula que por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas, y la geometría elíptica de Riemann, según la cual por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela.

En el s. XIX el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.

Nace en la década de 1980 la Geometría Fractal; El Caos. En su origen, la teoría caos surgió de los intentos por hacer modelos meteorológicos computadorizados. Dentro de la compleja variedad de un sistema, realmente encontramos regularidades ocultas. Ese es el motivo de que, ahora, la del caos se haya convertido en una teoría muy amplia que se usa para estudiarlo todo, desde la bolsa hasta multitudes que producen tumultos, pasando por las ondas cerebrales durante la epilepsia. Cualquier sistema complejo en el que haya confusión y que sea imposible de predecir. Podemos hallar un orden subyacente... La teoría caos dice dos cosas: “primero, que los sistemas complejos, como el clima, tienen un orden subyacente. Segundo, la inversa de eso, que sistemas simples pueden producir un comportamiento complejo." (Crichton 1993).

En las últimas décadas del siglo XIX, la perspectiva geométrica clásica dejó de regir entre las artes de vanguardia. En efecto, los artistas modernos siguen utilizando las técnicas perspectivas tradicionales, pero también la perspectiva plana, que consiste en yuxtaponer elementos en el plano del cuadro. Mientras que los cubistas, por su parte, utilizaban el llamado “simultaneísmo”, que consiste en presentar el objeto desde distintas perspectivas. En épocas más recientes, los artistas hiperrealistas han recurrido a la cámara fotográfica, generalizando la llamada perspectiva fotográfica.

La primera fotografía conocida data de 1826, año en el que Joseph Nicéphore Niepce (1765-1833) expuso durante ocho horas, con la ayuda de una cámara, una placa metálica recubierta con una solución fotosensible. La calidad y nitidez de esta primera fotografía, más propiamente heliografía, distaba mucho de los niveles que se conseguirían posteriormente, pero representó el primer paso en la instauración de una nueva técnica que propiciaría el surgimiento de una verdadera manifestación artística. Por aquellos mismos años, en París, el pintor escénico Louis Jacques Mandé Daguerre (1787-1851), que ya utilizaba una cámara oscura para realizar sus dibujos en grandes dimensiones, entró en contacto con Niepce y juntos desarrollaron la técnica heliográfica.
Con la aparición de la fotografía, el estudio de “las medidas de la tierra” y su proyección matemática se desplaza por la fiel representación de la nueva imagen sensible a la luz. Podría decirse que toda la teoría que precede a la cámara oscura se ve prácticamente reflejada en imagen proyectiva fotográfica, con lo cual no se considera necesario seguir estudiando algo que puede ser producto mecánico de esta moderna adaptación de los principios de Durero.

Con las nuevas artes de vanguardia el espacio que se define no atiende a regla alguna de ordenación perspectiva, o al menos de forma unánime. No es el espacio lo la principal preocupación, y mucho menos el “academicismo” al que obliga la fiel representación perspectiva del entorno; la sociedad, la política, el machismo y la marginación, entre otros temas serán en su mayoría los principales.
Las reglas a seguir para la comunicación en todos sus sentidos en ocasión se ausenta para dar una visión del mundo y de los elementos tan personal que, difícilmente puede descifrarse la obra de arte de forma racional y matemática.


La enseÑanza de la geometrÍa.Por Gustavo Zorzoli.

En esta conferencia encontrada en Internet, el profesor Gustavo Zorzoli hace hincapié en la necesidad de hacer algo para actualizar la enseñanza de la geometría.

"Por mucho tiempo hubo dos instrumentos esenciales que permitieron a las personas que accedían a la educación poder educarse, los dos libros más editados en la historia de la civilización: la Biblia, con la que se aprendía a leer y escribir, y "Los elementos" de Euclides (siglo III a.C.), con los que se enseñaba a razonar. Euclides, más que un creador, fue un compilador de la geometría existente hasta ese momento. Se ubica en Alejandría, la ciudad más importante de la época y la primera que fue construida como tal, en forma geométrica (de damero).
Esa geometría de Euclides es la que nuestros niños aprenden hoy en la escuela. No hay nada nuevo desde el punto de los contenidos, ni siquiera en Secundaria: todo estaba allí hace 23 siglos.
Este paradigma de enseñanza perduró hasta mediados del siglo pasado, cuando comienza a aparecer la escuela popular, se comienzan a producir transformaciones educativas y se siente la necesidad de contar con nuevos materiales.

Hasta ese momento, la enseñanza era personalizada: un tutor atendía dos o tres niños y luego la enseñanza continuaba en la Universidad. Luego, las adaptaciones curriculares conservaron la enseñanza de la geometría, que estuvo muy presente hasta mediados del siglo XX. A partir de la década del 50 se le quitó importancia a la enseñanza de la geometría en la escuela primaria y comenzó una revolución en la educación: la reforma de la enseñanza de la matemática moderna, que incluyó la teoría de conjuntos.

A partir de 1960 comienza a verse un importante avance de esta teoría en toda Latinoamérica y, finalmente, nos encontramos con que a mediados de los 70 los educadores, especialmente en Europa, se dan cuenta de que esa reforma no sirvió, de que la teoría de conjuntos como base de toda la matemática no estaba permitiendo a los niños desarrollar competencias intelectuales, y comenzaron las primeras críticas: los niños habían perdido capacidades concretas, de modelización, de interpretación, de visualización. Entonces en Europa, a principios de los 80, se comienza a darle un pequeño lugar al estudio del espacio y de la geometría.

La geometría, aún hoy, no ha recuperado el lugar que reconocemos necesario. Así como le llevó 20 años desaparecer, le llevará también otros tantos volver a ocupar su lugar, un punto de equilibrio. Es un proceso de transformación lento, "un proceso de formación para los nuevos docentes, que son productos de un modelo diferente de enseñar”
.

“Historia de la Geometría en la escuela”.
Conferencia del profesor Gustavo Zorzoli, sintetizada por las Maestras Mabel Ubal y Ma. Elena Mateo.


Durante toda la historia, la forma de transmisión de los conocimientos de la geometría entre generaciones poco ha variado desde sus inicios. No olvidemos la necesidad de una abstracción espacial para poder visualizar claramente el espacio de tres dimensiones que queremos representar únicamente en dos. Tampoco podemos negar la gran dificultad que trae esta tarea para profanos de la materia, es decir, estudiantes que no han tenido necesidad de una formación técnica en dibujo. También es difícil el acceso a esta formación pues la presencia de un tutor que te explique lo que esta ocurriendo en el espacio papel es necesaria; no se puede entender estos procesos matemáticos únicamente con la ayuda de un manual escrito.

La necesidad de un nuevo sistema de enseñanza para esta materia es evidente. Esta necesidad a impulsado la curiosidad y el entusiasmo por parte de profesores que, no satisfechos del todo con el método actual didáctico, avanzan un paso hacia adelante con el fin de conseguir trasmitir la información de una manera más clara y decisiva, o lo que es lo mismo, depurar más nuestro lenguaje de comunicación para que el mensaje sea directo y atractivo a los sentidos.

Pero esta tarea es complicada, pues también hay que formar al receptor y prepararlo para este nuevo lenguaje gráfico. Con el apoyo de las nuevas tecnologías se abre un nuevo paso hacia la comunicación a distancia; los cursos de formación semipresencial y no presencial ya son una realidad, es pues nuestra obligación avanzar con la tecnología y encontrar nuevos campos de aplicación para estos avances tecnológicos.

dib es una aplicación interactiva que tiene como objetivo principal unir los medios actuales de pedagogía, educación y comunicación con materias olvidadas en su evolución como es la geometría en general.

 
 
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